2016年兰州大学信息科学与工程学院信号处理之数字信号处理考研复试题库
● 摘要
一、综合题
1． 试证明用窗函数法设计FIR 滤波器时，对于所求的频率响应，矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。 【答案】令：
那么
表示将
后的
舍去后带来的总误差。此外，
可表示为：
式中，
产生的，假定：
且当
时
，
如果
是由对
截短所
根据上式由三角函数的正交性得
由于上式中每一项都是非负的，所以，
只有当小。当我们利用
其逼近误差为：
M 越大，误差
越小（因为
值愈小）。
再乘以非矩形窗
后
，
已经不是在最小平方意义上对
来近似
时，欲使近似误差为最小，
时，
才最
的单位抽样响应必须是
的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，
但如果我们把截短后的
的最佳逼近了。
2． 采用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，要求采用预畸变措施修正频率的非线性失真。已知二阶归一化巴特沃斯模拟滤波器的传递函数为：
已知系统抽样频率为
滤波器的通带截止频率方
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请解答下列问题：
（1）数字低通滤波器的通带截止频率是多少?
（2）设计出满足要求的数字滤波器的系统函数的表达式（大于1的数近似成整数）; （3）写出相应的差分方程，并画出系统的直接型网络结构流图。 【答案】（1）己知系统抽样频率为1000Hz ，滤波器的通带截止频率方通滤波器的通带截止频率为:
（2）采用预畸变措施修正频率的非线性失真:
所以系统函数为：
（3）因为系统函数为：
对上式求Z 逆变换得差分方程为：
即：
由上式得直接型结构流图如图所示：
，所以数字低
图
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3． 写出图中系统的系统函数和单位脉冲响应。
图
【答案】
取收敛域
对上式进行逆Z 变换，得到
4． 已知现令
：【答案】
（1）当
（其中/为正整数）时，
（2）当
（其中/为正整数）时，
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的周期为N ，其DFS 为
M 为正整数且不为零，试利用
贝J
_可化为：
表示