2018年安徽大学数学科学学院821高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
则（ ）.
2． 设
从而可由
3． 设
线性表出. 线性相关，故选D.
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 4． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
所以
5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
【解析】
其中则PAQ=B
二、分析计算题
6． 在
中，求向量在基
【答案】 （1）令
由此得线性方程组
下的坐标，设 （1
）
可解出，得
（2）令
，由此得线性方程组
可解出，得
7． 在欧氏空间中有三组向量的,
和
【答案】对每一个, 有
证明由题设, 可令
这
里由⑴、⑵可得
（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵是上三角矩阵. 令
.
且
'
时
仍是上三角矩阵, 且上三角阵的乘积仍是上三角阵,
所以
. 由于两两正交的非零向量组线性无关,
且
和
如果
是线性无关均
都是两两正交的单位向量组, 并且对一切
线性无关, 所以A , B 均可逆.