2017年首都师范大学课程与教学论(一),@内容之高等代数复试仿真模拟三套题
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一、分析计算题
1． 证明
：
【答案】因为
是半正定矩阵.
其中C 是行满秩的，所以是A 半正定矩阵.
2． 设V 是有限维欧氏空间，内积记为
显然
和
设T 是. 的一个正交变换，记
都是V 的子空间，试证明：
则
因此设
其中I 为V 的恒等变换
.
因为
由①，③，④即证
3． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换
在V 的基
问，可否在V 的某组基下矩阵为
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【答案】先证
于是
即证
下矩阵为
为什么？
【答案】设A 的特征矩阵为
I 的特征矩阵为
则
所以A 的不变因子为
所以8的行列式因子为
故
与
有不同的不变因子，从而不等价，即A 与B 不相似，因此，在任一组基
下的矩阵都不可能为
4． 设
是方程的三个根，计算
【答案】由根与系数的关系，知
将代入：
5． 设f ，g 为两个不全为零的多项式. 证明：
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表成的多项式，并将它们的值
【代x 亦有故②设故反之，设
6． 已知二次型
答
于是存在多项式
使
案
】
则存在使
则由（1）中第二式可得第一式，从而可知：
的秩为2. （1）求a 的值； （2）求正交变换
（3）求方程
的解.
【答案】（1）由于二次型f 的秩为2，即秩
解之，得a=0. （2）当a=0时，
计算可得
因而有
把
化为标准形；
故A 的特征值为A 的属于A 的属于易见取
的线性无关的特征向量为
两两正交. 将
单位化得
则Q 为正交矩阵. 令x=Qy得
（3）解法1 在正交交换x=Qy下
，
化为
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的线性无关的特征向量为
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