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一、填空题

1． 设

统计

_____.

【答案】2和4

【解析】

且他们相互独立, 故

2． 从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X , 再从

【答案】

中任取一个数, 记为Y , 则

_____.

是来自正态分布

服从

的简单随机样本,

分布, 其中a 为常数, 则参数和

分别为

【解析】X 表示从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 故X 是等可能取到1, 2, 3, 4, 所以

2, 3, 4.Y 表示从1, 2, ... , X 中任取一个数,

也就是说Y 在X 的条件下等可能取值,

也就是说Y 是等可能取到即

则由全概率公式, 得到

3． 设随机变量

【答案】1 【解析】解法一:

解法二:由正态分布密度对称性, 如图所示,

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其分布函数为则有_____.

图

4． 设总体X 的方差为1, 根据来自X 的容量为100的简单随机样本, 测得样本均值为5, 则X 的数学期望的置信度等于

【答案】【解析】由于故

的置信区间为_____.

属于大样本, 则由中心极限定理可知X 近似服从

分布,

的置信度近似等于0.95的置信区间为

二、计算题

5． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.

【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y =X+1服从几何分布以

，由此得

6． 设

【答案】因为

，求

的分布.

Y 的密度函数为，所以当y ≤ 0时，

对上式两边关于y 求导，得

即

这是伽玛分布

.

，所

的可能取值区间为

而当y>0时，Y 的分布函数为

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7． 设随机变量X 在区间（0, x ）上服从均匀分布, 求:

（1）条件概率密度（2）概率

.

上服从均匀分布, 在；

的条件下, 随机变量Y 在区间

【答案】 （1） x 的概率密度与在的条件下Y 的条件概率密度分别为:

故当时, 随机变量x 和y 的联合概率密度为

在其他点当

处, 有

时, Y的概率密度为

即.

当

或

时,

. 因此

.

从而, 当（2）

时, 条件概率密度为

其中区域

8． 设总体本

其中【答案】以记由此

在原假设成立时，

，总体

，从总体X 抽取样本

都是已知常数，求检验统计量与拒绝域. 分别表示来自两个总体的样本均值，

，由所给条件，有

分别为其样本方差，

，从总体Y 抽取样

，两样本独立，考虑如下假设检验问题

.

,

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