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一、填空题

1． 从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X , 再从

【答案】

中任取一个数, 记为Y , 则

_____.

【解析】X 表示从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 故X 是等可能取到1, 2, 3, 4, 所以

2, 3, 4.Y 表示从1, 2, ... , X 中任取一个数,

也就是说Y 在X 的条件下等可能取值,

也就是说Y 是等可能取到即

则由全概率公式, 得到

2． 设总体X 的概率分布为

其中

为未知参数, 对总体抽取容

量为10的一组样本, 其中5个取1, 3个取2, 2个取0, 则的矩估计值为_____, 最大似然估计值为_____, 经验分布函数为_____.

【答案】

【解析】令, 其中

即令解得矩估计量由样本值算得

故矩估计值为又样本似然函数

.

,

解得最大似然估计值为

.

根据定义, 由样本值可算得经验分布函数

3． 假设随机变量

如果

独立同分布, 且

,

, 则当常数c=_____时, 根据独立同分布中心极限定理.

当n 充分大时Y 近似服从标准正态分布. 【答案】【解析】记

, 则

独立同分布且

由独立同分布中心极限定理知, 当n 充分大

.

则

_____.

近似服从标准正态分布, 所以

4． 设随机变量X 的概率分布为

【答案】2

【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质知, 整理得到

即

故X 服从参数为1的泊松分布, 则根据方差的计算公式有

二、计算题

5． 设X 与Y 的联合密度函数为

(1)时，

’试求以下随机变量的密度函数

而当z>0

：(2)

【答案】（1）因为p （X ，Y ）的非零区域为x>0，y>0，所以当z ≤0时，

所以，当z ≤0时，有

；而当z>0时，有

，这是伽玛分布

的交集为图（a ）阴影部分

.

（2）当z ≤0时，p （x , y ）的非零区域与.

图

又因为当z>0时，p （x , y ）的非零区域与

的交集为图（b ）阴影部分，所以

由此得

6． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率:

（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束. 【答案】记事件（1）所求概率为

为“第i 次取到黑球”，i=l, 2, ….

，用乘法公式得

（2）所求概率为

7． 设随机变量X 的密度函数为

试求

.

，用乘法公式得