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一、计算题

1． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记

又记

由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为

所以由

得P （E ）=0.5.

此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性，在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的，事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位，利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算，此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下:

因为甲掷n+1次硬币共有

n

种可能，乙掷n 次硬币共有2种可能，

因而样本点的总数为

又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，k=0, 1, 2，…，n , 1≥1. 则所求概率

P （甲掷出的正面数＞乙掷出的正面数）

注意，如果甲掷n+1次改成n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题。

2． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为

. 现对样本中每一个观测值施行如下变换准差、极差和中位数.

【答案】不妨设样本A 为

样本B 为

且

样本标准差为样本极差为

样本中位数为

如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标

因而

3． 检查四批产品，其批量与不合格品率如下:

表

试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为

4． 设P （AB ）=0, 则下列说法哪些是正确的？

（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0; （6）P （A-B ）=P（A ）.

【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题:不可能事件的概率为零，但反之不然，即零，概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0, 1]上随机投点（其坐标记为x ）则点x 落在[0.2, 0.5]和[0.2, 0.5）内的概率皆为0.3, 这说明事件“x =0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.

（1）不正确，如A =[0.1, 0.2], B =[0.2, 0.3]. （2）不正确，如A =[0.1, 0.2），B =[0.2, 0.3]. （3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.

（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.

5． 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X 的分布列；

以X 表示在随意抽查的100

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从

的二项分布

即

（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有

这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为

6． 某厂有四条生产线生产同一种垫片，为了比较它们的断裂强度有无显著差异，特从每条生产线上随机抽取5个垫片，测其断裂强度，数据列于下表:

表

1

试在正态分布假设下比较四条生产线上产品的断裂强度. 若有显著差异，再作多重比较【答案】为了便于计算，把个数据

.

均减去85, 得下表

表

2

利用上表中的数据可算得各平方和

把这些平方和移入如下得方差分析表，继续计算