2017年扬州大学数学科学学院822高等代数(理)考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
不一定是线性变换，
比如
.
则
也不是线性变换，比如给
，而 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
不是惟一的.
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同. 5． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
为空间的两组基，且
二、分析计算题
6． 设P 是一个数域，意
证明:（1）对于（2
）对任意
理想，
且
是
是P 上的一元多项式环. 称
有
的非空子集I 为
的理想，如果对任
中任意理想I , 存在使得对于任意
是
的
的最大公因式. ，
取
则结论成立.
若这里
由
取I
中次数最低的首一多项式为
则
不
【答案】（1
）若
作带余除法
然，
是余式.
只要证
这
与使得
的取法矛盾，
故
（2）于是
有
故I 是P[x]的理想. ，J 中存在由（1）g （x ）
的公因式. 由J 的定义知
7． 在复数域内解下列四次方程：
【答案】一般四次方程的通用解法概述如下： 设
为复数域上四次方程，称关于t 的方程
为方程（9）的三次预解方程. 设
为其任一根，并令
的
与
的平方根. 则方程（9）的四根就是下列两个二次方程的根：
，就要先求三次预解方程（10）的一根再求满足条件（11
）的这就是说，欲解四次方程（9）
与
，的平方根；最后再解两个二次方程（12）（13）即得.
显然的组合，故
是
于是
，是f （x ）
的最大公因式.
为满足
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