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一、填空题

1． 设∣a ∣=3，∣b ∣=4，∣c ∣=5，且满足a+b+c=0，则∣a ×b+b×c+c×a ∣=_____

【答案】36 【解析】由由又由

知

知

，即

知以向量a ，b ，c 为边的三角形为直角三角形，且

2． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。

【答案】

。又所求平面经过点

，

即

即

故所求平面方程为

【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，

得

（1, -1, 2）

。

3． 设D 是由

【答案】

所确定的上半圆域，则D 的形心的Y 坐标

_____。

. 故

，即

【解析】

4． 设空间直线

【答案】 【解析】

设直线

则

的方向向量分别为

相交于一点，则λ=_____。

，

任取直线

上一点，

不妨设为

又两条直线相交于一点，故向量共面，即

5． 曲面

【答案】

与平面

平行的切平面的方程是_____。

，使得曲面在此点的切平面于平

面得，曲面

在的法向量

处的法向量

为

平行，

【解析】由题意，设曲面上有

点

平行。由曲面方

程，它应该与已知平面

即

，解得

故所求切平面方程为

即

6． 设二元函数

【答案】

【解析】由二元函数

得

故有

7． 点（1, 1, -1）关于平面

【答案】线方程为

。

，则

_____。

的对称的点

，过点

的坐标是_____。

垂直的直

与平面π：

【解析】设所求点为

即

将其代入平面方程得l=1，故直线l 在平面π的投影点为点，由中点坐标公式得

即所求点的坐标为（3, -3, 1） 8． 设

【答案】【解析】设的偏导，

为函数

，其中

对第一中间变量的偏导，

为函数

对第二中间变量

均可微，则

_____。

，则M 是线段PQ 的中

为函数g 对x 的导数。则

9． 直线L ：

【答案】【解析】设有

，绕直线L 1：

旋转一圈所产生的曲线方程是_____。

是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到

此时

又因

即

由此式得

（2）式代入（1）式中，得

即