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一、填空题

1． 曲面

【答案】

【解析】由题意，构造函数

在点

。则有

则所求法线的方向向量为

。又法线过点

2． 若函数（f x ）满足方程

【答案】

则特征根为

的通解为

得

可

知

故

【解析】由题意知，函数f （x ）的特征方程为故齐次微分方程

为任意常数。再

由

3．

【答案】-3π

【解析】按题中条件旋转所得的旋转曲面的方程为

，则

4． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。

（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是

存在的_____条件。

存在是f （x ）

_____，其中为

及

f x ）=_____。 则（

故所求法线方程为

的法线方程为_____。

绕x 轴旋转一周所得曲面的外侧。

在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。 （3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。

【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。 5．

【答案】

_____。 时的右极限

及左极限

都存在且相等是

存在_____条

的_____条件，

是f （x ）

【解析】将原积分化为极坐标下累次积分，由

6． 设f （x ）为周期为4的可导奇函数, 且

【答案】1 【解析】当知

7． 若级数

【答案】发散 【解析】如果与题设矛盾。 8． 积分

【答案】

的值等于_____。

收敛，

收敛，

发散，则级数

=_____。

, 即

时, ,

为周期为4的可导奇函数,

,

为任意常数, 由

。

可

, 则

=_____

【解析】交换积分次序，得

9．

【答案】

【解析】由题意得

在x=0处的泰勒展开式为_____。

10．设有直线L 1：

【答案】

【解析】设所有平面的法向量为k , 由题设知：

由于所求平面过L 1，则点（1, 2, 3）在所求平面上，则所求平面为

则过L 1且与L 2平行的平面方程为_____。

二、解答题

11．已知函数

满足

，且

，求曲线

所成

的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。

【答案】由于函数连续函数；又

故知令

，可得

，得到

；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线

12．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.

，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率

积分得代入初始条件

满足

，

，故，其中C （x ）为待定的

所

成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为

，分离变量得

。

。

，即

得C=6。故曲线方程为xy=6。