2017年北京市培养单位地理科学与资源研究所602高等数学(乙)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知函数序列
（1）问（2）证明
取多大，能使当
在
在任一有效区间[a, b]上一致收敛。
，因此对于正数ε，取
则
故
取
当
时，对一切
都有
即
在
上一致收敛于0.
过原点，且当
时
对应于且
积分得
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由初始条件
知
一段曲线的弧长为
求
2． 设光滑曲线
【答案】根据题设条件得
即
取
故
3． 求函数
【答案】
在积分方程两端对x 求导，
得于是
则
上收敛于0.
时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？
【答案】（1）由于当
就有（2）记
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
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在处沿的方向增加
沿方向减少最快，其方向导数为
4． 计算抛物线y>0，故有
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
5． 计算曲线积分
，其中L 为圆周
，L 的方向为逆时针方向。
，Q （x ，y ）均无意义。现取r 【答案】在L 所围的区域内的点（0，0）处，函数P （x ，y ）
为适当小的正数，使 圆周l （取逆时针向）:x=rcost，y=rsint（t 从0变到27t ）位于L 所围的区域，可应用格林公式，在D 上，有
内，则在由L 和1所围成的复连通区域D 上（图）
图
于是由格林公式得
从而
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6． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：
【答案】（1）
当p>1时，
收敛；当
时，时，由
于时，级数
是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；
当
，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当
条件收敛；当
（2
）
收敛，即原级数绝对收敛。 （3）
则
而级数
发散，
由极限形式的比较审敛法知
发散，而
时，级数发散。
而级数
收敛，
由比较审敛法知
是交错级数且满足
莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。
（4）
则
由比值审敛法知
7． 求上下分别为球面
【答案】由面上的投影区域D xy
为
和。于是
收敛，即原级数绝对收敛。
和抛物面
消去z ，解得
所围立体的体积。
，从而得立体
在xOy
8． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
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小山的高度函数
为
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