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2017年河北师范大学应用数学概率论复试实战预测五套卷

  摘要

一、计算题

1. 设随机变量

【答案】因为

所以

偏度系数和峰度系数分别为

2. 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

3. 设随机变量X 的分布函数为

代回原式,可得

,对k=l,2,3,4,求

,进一步求

此分布的偏度系数和峰度系数.

试求

【答案】X 的密度函数为

所以

由此得

4. 钥匙掉了,掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.

【答案】记事件

为“钥匙掉在宿舍里”,

为“钥匙掉在教室里”,

为“钥匙掉在路上”,事

5. 设

(2)在

是来自正态分布

的样本.

件B 为“找到钥匙由全概率公式得

(1)在已知时给出的一个充分统计量;

已知时给出的一个充分统计量.

【答案】(1)在已知时, 样本联合密度函数为

令理,

(2)在

,

的充分统计量.

, 由因子分解定

已知时, 样本联合密度函数为

令, 取

由因子分解定理, 为的充分统计量.

6. 将n 个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N 个盒子中,试求:

(1)某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率;

(2)恰好有m 个空盒的概率;

(3)某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.

【答案】先求样本点总数,我们用N+1根火柴棒排成一行,火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子,并依次称它们为第1个盒子,第2个盒子,…,第N 个盒子,n 个球用“0”表示,考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子,所以n 个(不可辨)球放入N 个(可辨)盒子中,就相当于把N-1根火柴棒(N+1根火柴棒中去掉两端的两根)和n 个“0”随机地排成一行,譬如N=4, n=3时,“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球,这样一来,n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒,故样本点总数为

(1)记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”,不失一般性,可认为第1个盒子中有k 个球,则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中,类似于样本点总数的计算,

此种样本点共有

考虑到球不可辨故

(2)记

为事件“恰有m 个空盒”,它的发生可分两步描述:

种取法.

第一步,从N 个盒子任取m 个盒子,共有

第二步,将n 个球放入余下的N_m个盒中,且这N —m 个盒子中都要有球,

这当然要求

否则第二步发生的概率为零,为了使第二步能发生,我们设想先把n 个

球排成一行,随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可,这有种可能.

综合上述两步,所求概率为

(3)若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”,这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球,由类似于样本点总数的计算知:j 个球放入m 个盒子中共余下的N-m

个盒子中有

种放法,于是所求概率为

7. 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内

(1)没有一台机床需要维修的概率;

种放法,而另外n-j 个球放入