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一、计算题

1． 设一批产品中一、二、三等品各占60%，35%，5%.从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

所以AB=B，于是所求概率为

2． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

表

2

所以得

由此得

3． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下：

表

在显著性水平为0.05

下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布

本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及

的假设检验问题.

分别为

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【答案】因为

因而，检验的统计量为

这里k=4，检验拒绝域为

若取

则

由于

未

落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05

下可以认为灯泡寿命服从指数分布

此处检验的p 值为

4． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.

【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，

则

，故p 的最大似然估计为

因为黑球数与白球数比值

根据最大似然估计的不变性，有

对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为

从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布

表

中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为

其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）， 将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得所以

由于其对数似然函数的二阶导数为

是R 的最大似然估计.

譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计

即罐中黑球数与白球数之比的最大

解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.

似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.

5． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？

（1）（2）

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（3）（4）（5）

【答案】（1）当时,

x>0

时

,

而当

y>0

. 所以由

, 知X 与Y 相互独立.

（2）因为

所以由

（3）当0

知X 与Y 相互独立.

而当0

所以由

知X 与Y 不相互独立, 实际上, 由于P （X , y ）的非零区域不可分离,

就可看出X 与Y 不相互独立.

（4）当而当所以由

（5）当0

时,

时,

, 知X 与Y 不相互独立.

而当0

所以由

（6）当一1

知X 与Y 不相互独立. 知X 与Y 相互独立.

6． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.

（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？

【答案】我们先对问题作一简单分析：若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有50%猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次数，则

要检验的一对假设为

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