2017年河北师范大学计算数学概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设曲线函数形式为问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给
出；若不能，说明理由.
【答案】能. 令
则变换后的函数形式为v=lna+bu.
2． 设随机变量X 的密度函数为
如果E （X ）=2/3，求a 和b. 【答案】由
得
又由
得
联立（1）（2）
，解得a=l/3，b=2.
3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）当x>0
时
,
而当
时,
. 所以由
, 知X 与Y 相互独立.
（2）因为
所以由
知X 与Y 相互独立.
第 2 页，共 28 页
y>0
（3）当0 （4）当而当所以由 （5）当0 时, 时, 而当0 知X 与Y 不相互独立, 实际上, 由于P （X , y ）的非零区域不可分离, , 知X 与Y 不相互独立. 而当0 所以由 （6）当一1 知X 与Y 不相互独立. 知X 与Y 相互独立. 4． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道 结果又是如何? 是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾 是θ的置信水 平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事 【答案】设 客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时， 在θ未知时，有 从而 即 这说明 区间的长度不超过2d ，即得 若α=0.05， 对第二个问题，当己知时，由于 在 当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得 （或已知 是增函数，所以 第 3 页，共 28 页 是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信 样本量 ，处理方法完全一样）） 从而 随d 的增加（精度减少）迅速降低. 这说明 信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到 譬如， 若已知 （即 ）则 是θ的置信水平1-α的置 于是关于样本量的要求化为 与θ完全 仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得 未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用. 5 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差． 为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？ 【答案】记 为第i 只零件的质量, 由 得 利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为 这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787. 6． —盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品. 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率. 【答案】记事件 7． 设 是来自正态分布族 的一个二维样本, 寻求（【答案】 第 4 页，共 28 页 为“第i 次取出合格品”，i=l，2. 用全概率公式 ）的充分统计量.
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