2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题
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2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题（一） ... 2 2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题（二） . 10 2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题（三） . 20 2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题（四） . 29 2018年北京市培养单位电子电气与通信工程学院811量子力学考研基础五套测试题（五） . 40
一、填空题
1． —个电子运动的旋量波函数为则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
2． —粒子的波函数为【答案】
3．
一维谐振子升、降算符
密顿量H 用N 或
【答案】 、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈 写出粒子位于间的几率的表达式_____。 、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
4． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
5． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换的整数倍；对称变换
6． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】
二、选择题
7． 量子谐振子的能量是（ ）
.
【答案】A
【解析】
由于谐振子的哈密顿算符为
8．
【答案】
9． 如两力学量算符_____ 有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为_____。 ____________________。 而本征值为n ，
于是谐振子能量为
【答案】0
10．考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为
势阱范围为
则体系的基态能量是（ ）。
【答案】E
11．对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ）
A. 体系可以处于任一态
B. 体系必须处于宏观态
C. 力学量必须是守恒量
D. 体系必须处于的本征态
【答案】D
【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.
12．假定角动量平方算符的选择为（ ）
的本征值分别为和如果则可能是本征值
【答案】C
三、证明题
13．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设
相应的本征能量色
【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为试证明这两个波函数对应的态矢正交. 是束缚态的波函数，态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有
此即亦即两个波函数对应态矢正交.
14．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。 四、计算题
15．氢原子处在基态
（1）r 的平均值；
（2）动能的平均值；
（3）动量的概率分布函数.
求：
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