2018年北京师范大学物理学系959量子力学考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
2． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
（常数），
同理，可得
因此：
所以有：
试证明
的不确定关系
：
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
二、计算题
3． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为：
4． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
5． 二电子体系中，
总自旋
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
【答案】（）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
6． 设
是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.
（1）写出粒子的自旋算符在
表象中的的矩阵形式； （2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.
【答案】⑴•
（2）由公式
且令
其中n 为正整数，则上式即
题中
利用公式则
结合
可得
7． 设粒子从
入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量
试
而当x ＞0时
，
（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；
（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为
令
则方程的解为
其中第一部分为入射波，第二部分为反射波
.
此即透射波函数.
由波函数连续及波函数导数连续有
解得
则波函数为其中
（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为
：反射波函数概率流密度为
：透射波函数概率流密度为
：透射系数即
可知