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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已证明，当

时

由傅里叶变换的特性，以归纳法证明

【答案】对于r=l和r=2均已证明，对于r = 3代入上述公式，有

现在利用频域微分特性，证明上述变换成立。

利用位移特性，得

得证。

同样，假定对于r —1也成立，则

得

2．

某连续信号的幅频特性

如图1所示。对它

也是

抽样后通过一个截止频率为

的理想数字低通滤波器，该滤波器的系统抽样频率

图

试画出：

（1）抽样后的幅频特性图。

（2）数字低通滤波器输出信号的幅频特性图。

【答案】（1）由抽样性质知，时域的抽样对应着频域的周期延拓，其周期等于抽样频率

故抽样后的幅频特性如图1所示：

得：

图1

（2）因为截止频率

所以对应数字频率为：

故输出信号的幅频特性如图2所示：

图2

3． 确定下列线性时不变系统是否因果的？是否稳定的？

【答案】（a ）因为

即因为

故这个LTI 系统是非稳定的。 （b ）当

时，因为

故

因此该LTI 系统是因果的。 因为

故该LTI 系统是稳定的。

不满足当

时为0, 故这个LTI 系统不是因果的。

4． 设

分别是的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：

【答案】⑴

令

即

（2）

（3）

令（4）

下面证明上式成立：

令 k=n-m，则

（5）

则