2017年河南大学数学与统计学院823专业基础课(高等代数)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设V 是实数域R 上一个三维线性空间，线性函数，
是V 的一组基，是V 上的一个双
它在基一组标准正交基.
【答案】（1）若全大于0, 即
故当
时，则A 正定. 由
是双线性函数，只需验证
具有对称性，非
由A 正定，则（2）由（1）知
正交化：
且
是V 上的内积，不妨记
用施密特正交化方法先将
是V 上的内积，则度量矩阵A 正定，则
且A 的顺序主子式
下的度量矩阵为
是V 上的内积？（2）当a=4时，求欧几里得空间的
（1）问a ，b 满足什么条件时，
负性，则其是内积. 事实上，
再单位化：
则 7． 求
的不变因子和初等因子，其中：
【答案】①先对
施行初等变换如下：
是欧几里得空间的标准正交基。
由于