2017年山东理工大学理学院856高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
则线性方程组（ ）•
使
因此A 与B 合同.
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时， 4． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
【答案】B 【解析】
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
5． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）.
A. 如果B. 如果秩
则则
. 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
6． 设
秩
未知量个数，
二、分析计算题
是线性空间V 的子空间，证明：
【答案】 ①任取令则因此，反之，任取于是从而
②在（3）式中，把再将此等式中
7． 计算行列式
令
故
于是又有
故（3）成立•
得
互换，即得（4）.
故
从而
则
【答案】将第i 列乘以加到第一列，得
8． 求下列矩阵的最小多项式
（1）
（2）
【答案】（1）以A 记题目所设的矩阵. 它的特征多项式为
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