2017年山东理工大学理学院856高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则 的通解为（ ） 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 考虑到 是 的一个特解，所以选C. （否则与 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组 的两个线性无关的解. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 的3个线性无关的解，为任意 3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 4． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 5． 设n （n ≥3）阶矩阵 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D. 故 但当a=l时， 【答案】B 【解析】 二、分析计算题 6． 设f （x ）是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数，证明： （1）函数f （x ）的核（2）若 任一向量X 可以唯一表示为 是V 的极大子空间. 【答案】（1）显然S 是V 的子空间，若T 是真包含S 的子空间，则 由 则 令 于是 故 从而 下证 即S 是V 的极大子空间. 若 （2）由前面的证明知分解的存在性成立，且则 由 证明： 代入上式立得 唯一性得证. 7． 设A 、B 是n 阶正交阵，且 【答案】A 、B 为正交阵，艮P 所以 故 又因为 所以 8． 计算行列式 【答案】从D 的最后一列开始，每列都减去前一列，然后再将第一行加到其余各行，得 再将第一列依次与第的上三角形行列式. 因此，列交换，即得一个主对角线上元素为 9． 设A ，B 分别为m 阶与n 阶方阵. 证明： ，【答案】由以下两个等式两端取行列式即分别得（4）（5）:
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