2017年山东理工大学理学院856高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
是（ ）二次型.
【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
是
的基础解系，
为任意常数，
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
5． 设
秩
未知量个数，
是非齐次线性方程组的两个不同解，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 求下列多项式的所有有理根：
f x ）【答案】①若（有有理根，则必为整数且为14的因数，由于14的因数为：且
故±1不是f （x ）的根. 又由于
故根只有2.
②由于4的因数为：
但由于
又因为验算
可知，它确为g （x ）的根且为一个2重根.
③同理，若h （x ）有有理根，则必为整数且必为3的因数：由于
故知
是h （x ）的根，且逐次用综合除法知
因此，h （x ）的根全为整数且3是单根，一1是4重根. ④同理，若k （x ）有有理根，必在以下诸数之中：=23, k（-1） =13, 故
又由于
上诸有理数都不是k （x ）的根，因此，k （x ）没有有理根.
7． 设是欧氏空间的一组线性无关的向量，
都不是k （x ）的根.
都不能整除k （1）, 故以
由于k （1）
都不能整除
而1的因数为
故故
故若g （x ）有有理根，必在以下诸数中：
都不是g （x ）的根.
都不是g （x ）的根. 于是只剩下
经
都不是f （x ）的根，只剩下2经用综合除法知，确为其根，故f （x ）的有理
是由这组向量通过正交化方法
所得的正交组. 证明：这两个向量组的格兰姆（Gram ）行列式相等，即
其中
【答案】由正性交知
所以