2017年西安财经学院统计学院802西方经济学与统计学之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
2． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
所以
即
值已知）的共轭先验分布.
3． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
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这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
, 证明:当时, 随机变量按分布收敛于标准正态变
可
得
所以
而
正是
的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
收敛的方法知结论成立.
4． 设, 证明:
【答案】若
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
5． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
6． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
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知
又由（1）知
所以有
7． 设
的样本, 证明
是来自几何分布
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
统计量的真实含义.
8． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见
是的无偏估计.
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