2017年山东大学概率论复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X , Y ）服从二维正态分布
（1）求
【答案】（1）由于
所以
因为
所以
（2）因为
所以由E （X ）=E（Y ）=0, 得
又由对称性这表明, 当
所以得
时, X-Y 与XY 不相关.
2． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?
【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为
表
1
所以保险公司的期望收益
为
中解得
所以取
即可满足要求.
表2
由
即
从
（2）求X —Y 与XY 的协方差及相关系数.
注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有
由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.
3． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:
表
（1）试将频率分布表补充完整；
（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为
（2
）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为250人, 故该公司上班所需时间在半小时以内的人有
4． 设为来自b （1，p ）的样本，试求假设
【答案】样本的联合概率函数为
利用微分法，在上p 的MLE 为
人.
的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为
通过稍显复杂的求导可知，当
时，
为的严增函数，而当
时，
关于的
该公司有职工
为的严减函数（对此性质，也可以画出
图形看出），从而拒绝域
这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值水平确定.
5． 一射手单发命中目标的概率为p （
由显著性
）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命
中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
第一次命中目标的射击次数X 是在前面
6． 设来自贝塔分布族
【答案】样本的联合密度函数为:
由因子分解定理,
是充分统计量.
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下, 次射击中等可能的.
的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量.
7． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.
【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得
8． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
【答案】记T 为此种动物的寿命，
由题意知
所以
又因为