2018年湖南大学工商管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品，仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？
【答案】仿抽样模型可得
2．
某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，
测得样本标准差为批导线的标准差显著地偏大？
【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
，查表知，拒绝域为若取
由所给条件可得出检验统计量为
因此拒绝
在显著性水平
下认为这批导线的标准差显著地偏大.
3． 设随机变量X 和Y 独立同服从参数为的泊松分布，令
求U 和V 的相关系数【答案】因为
所以
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今在一批导线中随机抽取样品9
下能否认为这
，设总体为正态分布，问在显著性水平
，
由此得
4． 设在区间上的均匀分布
而
上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
则
相互独立，且都服从区间
和
的密度函数分别为
又因为
所以
解法二:n 个点把区间随机取的，所以此
而相距最远的两点间的距离为
因此所求期望为
5． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表:
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为即
则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
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【答案】解法一:分别记此n 个点
我们的目的是求
分成段，它们的长度依次记为因为此n 个点是
因
具有相同的分布，从而有相同的数学期望. 而
的二项分布，
为样本，
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
解之得
由于
由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为
6． 设
，试证:
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
的可能取值范围为
.
且
是区间
上的严格
单调增函数，其反函数为. . 所以Y 的密度函数为
这正是
的密度函数.
分布的密度函数
为
，
7． 自由度为2
的
试求出其分布函数及分位数
F （x ）=0; 当x >0时，
【答案】此分布的分布函数F （x ）为:当x ≤ 0时，所此分布的p 分位数由此得
满足:
；
，从中解得。
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