2017年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
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则分块矩
的伴随矩阵为（ ）.
且
所以
3． 设向量组
，
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
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线性无关.
中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】
二、分析计算题
6． 若
是线性空间V 的两个子空间，证明：
这里dimW 表示子空间W 的维数. 【答案】设将（I ）扩大
为
的一组基
再将（I ）扩大为今（IV ）
的一组基
，则
可证
下证再令
由⑤式有
由⑥，⑦两式知将⑧代入⑦，并移项得
但
将⑩代入⑧式得由
再由⑩，⑪知
线性无关，由⑨式可得
再代入⑥式有
线性无关，可得
线性无关. 再由④式知
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的维数分别为的维数为r ，取的一组基（I ）并
线性无关. 设有
从而所以