2017年陕西师范大学数学与信息科学学院912数学分析与高等代数[专硕]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，在
内可导，且.
证明
：
【答案】将结论变形为
进而写成
由使
在式(1) 中，若
再结合式(2) , 问题就解决了. 而对
即
在
上应用拉格朗日中值定理即可知式(3) 成立. 是P 的一个聚点. 试证：自
设
又因为以.
具有如下性质：
使得
又
从而
上一致收敛. 进一步由连续性定理，可知函数
上连续.
上
因此
.
即
是E 的一个聚点，所
又因为是
2． 设是集合E 的全体聚点所成的点集，
【答案】因为是的一个聚点，所以
可以看出，首先应对
和
在
上应用柯西中值定理. 这样就有
使得
集合E 的全体聚点所成的点集，因此是E 的一个聚点. 所以
3． 求证：黎曼函
【答案】(1)
(1) 在x>1上连续；(2) 在x>1上连续可微.
连续，特别在连续. 由于的任意性，即可肯定
(2) 由(1) 可知
使得
又
收敛，从而一
在
上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知
且
在
上连续，特别
在点可导且
在连续. 由的任意性，即可肯定
在；x>l上连续可微.
4． 证明：点列
即
收敛于的充要条件是收敛于
则对任给的
存在N ，
当
时
【答案】
必要性设点列
故从而同理充分性设因此故点列
5． 证明公式
【答案】
收敛于
侧对任给的
存在N , 当
时，
6． 证明
:任意正数.
【答案】由于
有
当
积分在
若该积分在
时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对
时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得
在上一致收敛；在内不一致收敛，其中与为
上一致收敛.
有
因为
另一方面，
由于
，则
所以
则
当当
时有
时有
取
于是当
则
时，
若
因而
矛盾，故原积分在
7． 设函数在
【答案】
内不一致收敛。
证明存在一点
使得
上二阶可导
，在
和
的一阶泰勒公式分别为
由此得到
于是
其中
8． 证明：
【答案】将原不等式变形为
这样就将问题转化为求令
解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，
下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为
或并且满足
成立.
在区域上的最大值.
所以f (x ，y ) 在D
的内部最大值为
和
，可得驻点
此时
因此，f (x ，y ) 在y=0上的
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