2018年华中科技大学生命科学与技术学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自总体X 的简单随机样本, X 的概率密度为
记
.
和最大似然估计量；
得A 的矩估计量
, 令
解得（2）
由于EY 是A 的单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 故EY 的最大似然估计量为
2． 求下列亊件的概率:
（1）（2）
个人坐成环形, 求甲、乙、丙三个人坐在一起的概率; 个人并排坐, 求甲、乙、丙三个坐在一起的概率. , 从而A 的最大似然估计量
；
（1）求的矩估计量【答案】 （1）
令
（2）求Y 的数学期望EY 的最大似然估计量.
样本的似然函数取对数
【答案】（1）设事件A 表示“甲、乙、丙三人坐在一起”, n 个人坐成环形的坐法共有
种,
当甲、乙、丙三人坐在一起时, 可将他们看作一个整体, 则共有坐法. 即
（2）若n 个人坐成一排, 则共有则共有
种坐法, 即
3． 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量
【答案】三角形区域为
则随机变量X 和Y 的联合概率密度为利用随机变量函数_
期望的计算公式, 得到
则
.
，求此密码被译出的
为“密码被译出”. 则
注:互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
5． 设二维随机变量的联合密度函数为
（1）试求常数k ; （2）求【答案】（1）
的非零区域如图 （a ）阴影部分. 由
种
种不同坐法, 仍将甲、乙、丙三人看作一个整体,
的方差.
X 和Y 在G 上服从均匀分布,
4． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为概率.
【答案】记事件A 为“第i 个人译出密码”，
解得k=6.
（2）P （x ，y ）的非零区域与的非零区域与事件
的交集为图（b ）阴影部分，所以
，又因为P （x ，y ）
的交集为图（c ）阴影部分，所以
图
6． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本:
（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.
（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2, 所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.
（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件
表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l, 2, 3, 4, 则
所以甲得全部赌本的11/16, 乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有n+m-1局中至多赢m-l 局，这共有
种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着:乙在此
种等可能的情况，若记
则