2017年上海师范大学数理学院861高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设C 为曲线
【答案】-1
【解析】解法一：由于关，又
，则
解法二：由以上分析知该线积分与路径无关，改换积分路径，从
，则
2． 第二类曲线积分向曲面乏在点
【答案】 3． 设
【答案】
，则
4． 已知球面的一条直径的两个端点为（2, -3.5）和（4, 1, -3）, 则该球面的方程为_____。
【答案】
【解析】已知球面直径的两个端点，则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为
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上从到的曲线段，则=_____。
，则该线积分与路径无
到
再到
化成第一类曲面积分是_____，其中
处的_____的方向角。
, 法向量。 ，则
_____。
为有
【解析】令
即（3, -1, 1）, 又球的半径就是这两个端点间距离的一半，故
即所求球面方程为
5． 直线
【答案】【解析】设直线l 2, 则
故
即两直线的夹角为 6． 曲面
【答案】
【解析】由题意，构造函数
在点
。则有
则所求法线的方向向量为
。又法线过点
7． 设平面曲线L 为下半圆周
【答案】π
【解析】将曲线方程转化为参数方程：
则
，则曲线积分
_____。
故所求法线方程为
的法线方程为_____。
的方向向量为l 1，直线
的方向向量为
与
的夹角为_____。
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8． 已知向量_____。
【答案】1
【解析】由题意知，令
，则
则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为
又
，则
，故
要求r 取最小值，则可求
的极值。故令且
，解得
时，r 取到极小值，也是最小值，此时r=1.
二、计算题
9． 设函数f （x ）在
内具有一阶连续导数，L 是上半平面（y>0）内的有向分段光
，终点为（c ，d ）滑曲线，其起点为（a ，b ）。记
（1）曲线积分I 与路径无关; （2）当ab=cd时，求I 的值。 【答案】（l ）因为
在上半平面这个单连通区域内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径L 无关。 （2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点（a ，b ）到点（c ，b ）再到点（c ，d ）的有向折线， 从而得
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