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一、证明题

1． 记

证明

【答案】

由

得

2． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

3． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

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则成立.

所以

即

由此得

即

4． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

5． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

6． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

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都是θ的无偏估计；

最优.

这说明是

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为

θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如

则Y 的密

的

估计中，最优.

7． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

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