2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
设
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
已知
且
为任意常数.
.
求
故
故
知
知
【答案】
由题意知又
又
得
即
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关，
列向量组
线性无关.
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
和向量组线性表示；
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，方程组的基础解系可选为
_
意非零常数.
因此，所有非零列向量
所有非零解
_
t
为任
二、计算题
5．
设
【答案】因
其中
故
于是
6．
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知
是它的三个解向量
，
且
求
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.
因
R （A ）=3, 则知此齐次方程的基础解系由
1个非零解构成，也即它的任一非零解都是它的基础解系. 另一方面，记向量
且直接计算得
这样，就是它的一个基础解系. 根据非齐次方程组解的结构
，则
知，原方程组的通解为
7． 设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值