2017年北京科技大学550数学综合考试之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0，得到如下似然方程组
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
，将其分别对（忽略常数项）
求
2． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin ，他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求
，其中【答案】因为Y 〜b （5，p ）
3． 由经验知某零件质量为
已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，
检验的拒绝域为
由
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所以得
（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量
）？
查表知
使用样本数据
【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个
可算得，
由于
故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.
4． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：
（1）全是黑桃； （2）同花；
（3）没有两张同一花色； （4）同色.
【答案】52张牌中任取4张，共有
种等可能的取法，这是分母.
种取法，这是分子，于是
（2）共有4种花色，而“4张同花”只能从同一花色的13张牌中取出，所以共有于是
（3）“没有两张同一花色”只能从各种花色（13张牌）中各取1张，共有
（4）共有2种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的26张牌中任取4张，所以共有取法，于是
5． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.
（1）（2）
种
种取法，于是
种取法，
（1）4张黑桃只能从13张黑桃中取出，共有
【答案】（1
）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为
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又因为
所以
（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有
所以当而当又因为
时, 有时, 有
所以
在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.
（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进
6． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位：m/s）如下：
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设分别为
在显著性水平为下，
检验的拒绝域为
著降低.
关于本题说明一点：本题中的一对假
设
由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一
的检验与另一对
假设
的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
都形如
若取
查表知
经计算得
此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显）？
待检验的原假设矾和备择假设
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体
致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
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