2018年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
2． 设
（1）
由此可得到的UMVUE , 各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
，因而
t
，下一步，将
式两端对
求导，略去几个前面已经指出积分为0
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
3． 设随机变量X 取值
【答案】
4． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
故有
所以
的概率分别是
. 证明
:
即X 与Z 不独立.
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
时有
服从参数
的柯西分布.
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
5． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
6． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为