2017年天津大学理学院836高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 设
为
，其面积为A ，则
_____。
【答案】36A 【解析】由曲面方程
又
将其代入被积函数得
可知，该曲面关于xOy 平面对称，故
。
是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_____。
2
2． 已知
【答案】
因为由叠加原理知x-1与x -1是非齐次方程对应的齐次方程的解，且它们是线性无关的，于是根据线性方程通解结构得出以上结论。
3． 设，其中
【答案】0
【解析】考察旋度的计算。
则_____。
4． 设二元函数
【答案】
【解析】由二元函数
得 ，则
_____。
故有
5． 由方程
_____。 【答案】【解析】构造函数
，则
所确定的函数
在点
处的全微分
将（1, 0，-1）代入上式得故
6． 设常数k>0, 函数
【答案】当当又
故曲线的个数为2。
7． 由曲线量为_____。
【答案】
。
在, 令
时, 时,
与x 轴有两个交点, 因此函数
在
内的零点
, 故函数
内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;
上单调减少。
,
, 故函数f （x ）在
从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值
绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向
【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为
而旋转曲面上任意一点其中故在点
将其单位化，得
8． 过点
【答案】
【解析】由题意设所求平面为
又该平面与直线
，故
垂直，则该平面的法向量为（-1, 3, 1）
又该平面经过点联立二式解得
故所求平面π为
9． 设
【答案】2011 【解析】级数
的部分和数列为
则
，则级数
的和为_____。
，故
且与直线
垂直的平面方程为_____。
处曲面指向外侧的法线向量为
处的切平面的法向量为
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