2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （x ）连续且横大于零，
其中
（1）讨论F （t ）在区间（2）证明当t>0时，
【答案】（1）利用球面坐标，有
利用极坐标，有
内的单调性； 。
于是
求导得
所以在区间
内，
，故F （t ）在
内单调增加。
所以
2
（2）因为f （x ）为偶函数，故
要证明t>0时，
，即证
只需证当t>0时
，
。由于
所以H （t ）在因此当t>0时，有
2． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向
，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
内单调增加，又H （t ）在
上连续，故当t>0时
，
且
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为由斯托克斯公式
t 从0变到2π。
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
3． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
4． 计算下列三角函数值的近似值:
【答案】（1）由
及取
得
（2）由及取
得
5． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
，（R 是浮筒的半径）
则故
得
，其中m 是浮筒的质量。记