2017年湖南大学信息科学与工程学院813高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知动点M （x ，y ，z ）到xOy 平面的距离与点M 到点（1，﹣1，2）的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
【答案】根据题意知
即
2． 设函数f （x ）连续且横大于零，
为点M 的轨迹的方程.
其中
（1）讨论F （t ）在区间（2）证明当t>0时，
【答案】（1）利用球面坐标，有
利用极坐标，有
内的单调性； 。
于是
求导得
所以在区间
内，
，故F （t ）在
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内单调增加。
（2）因为f （x ）为偶函数，故
2
所以
要证明t>0时，
，即证
只需证当t>0时
，
。由于
所以H （t ）在因此当t>0时，有
3． 验证下列求这样的一个
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
（3）在整个xOy 面内，且
则有
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，
且
内单调增加，又H （t ）在上连续，故当t>0时
在整个xOy 平面内是某一函数的全微分，并
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
和
具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，
且
分。取
则有
和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微
解法二：（偏积分法）因函数
满足
故
其中
是y 的某个可导函数，由此得
又
必需满足
从而得
（C 为任意常数）。因此
取C=0，就得到满足要求的一个
。
因此可取
解法三：（凑微分法）利用微分运算法则直接凑出
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