2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列各函数的定义域：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】
2． 已知向量.
【答案】
由于
同时垂直，故所求向量可取为
，（1，﹣1，2）
（3, 3, 1）和
（3, 1, 3）. 求与
同时垂直的单位
；
由
知
3． 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p 与水深h 存在函数关系, 且有P=9。8h
。若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 。
,
取
,
并记
【答案】在区间[0, 3]上插入, n-1
个分点
得到闸门所受水压力的近似值为
水压力为积分区间的分法和
为小区间的端点故
4． 求曲线
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
5． 试决定曲线
点, 且点（-2, 4, 4）在曲线上。
【答案】根据题意有
即
中的a , b , c , d , 使得x=-2处曲线有水平切线, （1, -10）为拐
, 根据定积分的定义可知闸门所受的
, 由于被积函数连续, 而连续函数是可积的, 因此积分值与
的取法无关。为方便计算, 对区间[0, 3]进行n 等分, 并取
, 于是
【答案】解方程组
, 故
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
解此方程组得a=1, b=-3, c=-24, d=16。
6． 将函数
【答案】（1）展开成正弦级数： 将f （x ）作奇延拓，得得
则
满足收敛定理的条件，且在
上
，再将并有间断点
故
（2）展开成余弦级数： 将f （x ）作偶延拓，得则
满足收敛定理的条件，在
故
7． 求下列函数的自然定义域:
分别展开成正弦级数和余弦级数。
作周期延拓，
再将
上
作周期延拓得，
且有间断点x=h。