2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1．
试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由知取
, 利用递推公式
, 得:
在
, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
故使误差不超过0.01的根的近似值为
2． 设
其中
数
在
具有连续导数，且
。 ，故
对任意（x , y ）都成立，从而
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求函
，使沿平面内任一闭曲线C ，有
【答案】由条件知，曲线积分与积分路径无关，从而
且
齐次方程的通解为
。从而非齐次方程的通解为
。由②得
，
，由①得
为任意常数，
非齐次方程有一特解
为
任意常数，已知。故。
3． 求由抛物线y=x2，及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线y=-1的转动惯量。
【答案】闭区域
，所求的转动惯量为
4． 按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性：
（1）（2）
有
故
取
当n>N时，对一切
即该级数在（2）有和函数
且取一列
于是对
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【答案】（1）此级数为交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件。
有
上一致收敛。
其部分和函数
不论n 多大，总有
使得
因此，该级数在开区间（0, 1）内不一致内敛。
5． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
6． 求函数
【答案】因为因为
，
的图形的渐近线
，所以y=0是函数图形的水平渐近线。
所以
及
都是函数图形的铅直渐近线。
7． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为
所以根据定义可知级数
发散。
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