2017年浙江师范大学数理与信息工程学院881高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设 又 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 3． 二次型 A. 正定 第 2 页，共 42 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 为空间的两组基，且 由②有 是（ ）二次型. B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 是不定二次型，故选B. 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 4． 设 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是 的基础解系， 为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于 因此 线性无关，且都是 的解. 的特解，因此选B. 分别为A ，B 的伴随矩阵， 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 故是的基础解系. 又由知是 5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）. A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* 第 3 页，共 42 页 D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C 【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有 又 所以有 即A*右乘初等阵P （1，2）得-B* 解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此 即 二、分析计算题 6． 设A 是一单位矩阵 E. 显然已是所要的形式. 假设n-1时结论已成立，下证n 时结论也成立. 由 它的第一列必有某 若 但2行1列处的元是1. 再用 若 选1，使 用则可用 右乘A ，则所得右乘A ，则得右乘它，则所得矩阵 矩阵的1行1列元素为到的矩阵的1行1列处仍是 矩阵， 证明：A 可以表成 这一类初等矩阵的乘积. 类型的矩阵左或右乘A 使其变成 【答案】对A 的级数作归纳法来证明可逐步用 的1行1列处的元是1. 对于以上两种情形，不妨仍记所得的最后矩阵为A , 这时 易知它可用一系列型的矩阵右乘或左乘它，将它变成 由于前面各变换皆保持行列式不变，故 阵， 又有 由归纳假设， 能在 第 4 页，共 42 页 上用一系列型矩阵