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一、选择题

1．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

所以f 为正定的.

2． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于

因此

线性无关，且都是

的解.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

4． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

6． 设

是一实二次型，若有实n 维向量

使

证明：必存在实n 维向量使

【答案】设经非退化线性替换

化为规范形

因有

使

故正惯性指数又因有

使

故负惯性指数

即

令

代入得一个实向量

就满足

.

）