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一、解答题

1． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

（1）（2）

【答案】（1）因

在点,

在点

所以切线方程为

即

法平面方程为

即

（2）令

所以

故切平线方程为

法平面为

2． 设

【答案】

为单位球面

计算曲面积分

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3

． 试比较函数

【答案】由知,

与

与分别当可知,

与

和封的图像.

图像关于y 轴对称. 由

互为反函数, 的图像也关于直线

对称,

可

的图像关于x 轴对称. 由于y=2x与

与

因而它们的图像关于直线y=x对称. 同理, 如图所示.

图

4

． 判断积分

的收敛性, 其中p

和q 是参数.

【答案】（

1）当

时,

易知:当

时,

当

时,

当

时,

当

时,

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所以不论（2）当由当

时,

取何值, 一定有时, 不妨设

对于无穷积分知:

当发散.

的前提下讨论

时,

发散.

收敛;

下面在若

若

当

则

由

的收敛性.

为正常积分, 收敛.

知:

时,

收敛;

当时,

发散.

综合可知:当或时

发散

.

和都收敛, 从而

收敛; 在其他情况下

,

5． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f?

上为奇函数, 故

所以f 的傅里叶级数展开式为

（2）因为f 在

上除x=0外都连续, 故当

又当x=0时, 级数收敛于

, 且时, 有