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一、计算题

1． 在三棱柱体的三顶点A , B 和C 上作用有六个力, 其方向如图所示。如AB=300mm, BC=400mm, AC=500mm, 向点A 简化此力系。

图

【答案】以BC 为x 轴正向, BA 为y 轴正向, 竖直向上为z 轴正向建立坐标系, 计算各力的投影和对轴的矩, 并分别求和, 可得:

2． 已知图1所示曲线为旋轮线, 其方程为:

一小环M 在重力作用下沿该光滑曲线运动, 求小环的运动微分方程

.

图1

【答案】如图2所示, 以为广义坐标,

图2

选取

时为零势能位置, 可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

3． 图1所示一质点无初速地从位于铅垂面内的圆的顶点O 出发, 在重力作用下沿通过O 点的弦运动. 设圆的半径为R , 摩擦不计. 试证明质点走完任何一条弦所需的时间相同, 并求出此时间

.

图1

【答案】如图2所示

.

图2

任一弦长为因为

所以

积分得:由

积分得

解得

将

代入上式, 得

即

4． 如图1所示，半圆形凸轮以等速

相对于地面和相对手凸轮的运动方程和速度。

沿水平方向向左运动，而使活塞杆AB 沿铅直

方向运动。当运动开始时，活塞杆A 端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R=80mm，求活塞B

图1

【答案】（1）如图2所示，建立固结在地面的直角坐标系xCy ，则运动方程为

速度为

方向铅垂向下。

（2）建立固结在凸轮上的直角坐标系

则运动方程为

速度为

图2