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一、填空题

1． 若

【答案】【解析】由于

，则

，且

则。 2． 若函数（f x ）满足方程

【答案】

则特征根为

的通解为

得

可

知

故

【解析】由题意知，函数f （x ）的特征方程为故齐次微分方程

为任意常数。再

由

3． 一阶线性微分方程

【答案】

4． 微分方程

【答案】

这是一个齐次型方程，

设

代入可得特解为

则

_____。

得到通解为

满足

的解为_____。

_____。

及f x ）=_____。 则（

的通解为_____。

【解析】

方程的标准形式为

C 为任意常数，再将初始条件

5． 设

【答案】0

【解析】考察旋度的计算。

，其中

6． 曲线L 的极坐标方程为

【答案】

于是

在

处

，

，则L 在点

处的切线方程为_____。

【解析】先把曲线方程转化为参数方

程

则L 在

点

，即

7． 过点

【答案】

【解析】由题意设所求平面为

又该平面与直线

，故

垂直，则该平面的法向量为（-1, 3, 1）

又该平面经过点联立二式解得

故所求平面π为

8． 设L 是正向圆周

【答案】【解析】圆周

的参数方程为

在第一象限中的部分，则线积分

，故

且与直线

垂直的平面方程为_____。 。

处的切线方程

为

=_____。

则

9． 已知球面的一条直径的两个端点为（2, -3.5）和（4, 1, -3）, 则该球面的方程为_____。

【答案】

【解析】已知球面直径的两个端点，则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为

即（3, -1, 1）, 又球的半径就是这两个端点间距离的一半，故

即所求球面方程为

10．设

【答案】【解析】由

故令

，则

，且当

，以及

可知

时，

，则

_____。

二、计算题

11．将函数

【答案】

展开成x+4的幂级数。