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一、计算题

1． 由正态总体

【答案】

因为

抽取容量为20的样本, 试求

所以

,

用

表示服从

的随机变量的分布函数值, 则

利用统计软件可计算上式. 譬如, 可使用MATLAB 软件计算上式:在命令行输入

则给出

一次性给出

输入

这里的

则给出0.0318,

直接输入

就表示自由度为k 的

则

分布在x 处的分布函数值. 于是有

2． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

与（**）两式相加与相减可得

再使用加减消去法，即可得

3． 设

【答案】记

的无偏估计分别为

为来自的样本，试求假设样本的联合密度函数为

的似然比检验.

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数是

从而似然比检验等价于采用

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

检验是等价的.

4． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位：小时）服从对数正态分布小时，

【答案】由位数为

其中

为标准正态分布N （0，1）的分位数，所以根据题意有

代人上面两式，可解得

小时

，

若已知分位数

的平p 分

知对数正态分布

将

5． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率；

（4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当

时，

当x>0.5时，所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

6． 已知某种材料的抗压强度下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

的置信水平为95%的置信区间为

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如