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一、选择题

1． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设考虑到

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有

R （A ）

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

3． 设线性方程组的解都是线性方程组的解，则（ ）。

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都是4维列向量，且4阶行列式

并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB 的第一列

从而

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

4． 设行列式

的解空间分别为

则

所以

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

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A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

所以f 为正定的.

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶方阵，证明：

【答案】因为

所以

故

7． 求

的充要条件是

这里是对所有n 级排列求和.

都有

【答案】对每个排列

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