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一、计算题

1． 图所示质量为m 的重物, 初速为零, 自高度h=lm处落下, 打在水平梁的中部后与梁不再分离. 梁的两端固定, 在此重物静力的作用下, 该梁中点的静止烧度

如以重物在梁上的静止平

衡位置为原点, 作出铅直向下的轴y , 梁的重量不计. 写出重物的运动方程

.

图

【答案】梁相当于弹簧, 重物将做简谐振动, 重物的运动微分方程为:

振动的固有频率为:

上述方程的通解为:

重物与梁接触前的速度为:

所以运动的初始条件为t=0时, 将初始条件代入, 解得:所以重物的运动方程是:

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2． —变质量摆在阻力与速度成比例的介质中运动. 摆的质量由于质点的离散，

按已知规律

而变化，且质点离散的相对速度为零. 已知摆线长为1，摆上受到与其角速度成比例的阻

力

（为摆的角速度，为常数）的作用，试写出摆的运动微分方程式.

【答案】定质量下单摆的运动方程为:

方程两边同乘m ，可得:

变质量下质点的运动方程为:

将v 与

做替换，联立①②单摆的运动微分方程式为:

3 图1所示均质细杆AB 长为1, 质量为m , 在点D 挂有倾斜弹簧, 弹簧的刚度系数为k. 杆的尺寸．

如图. 求杆处于水平和铅直位置两种情况下微幅振动的固有频率

.

图1

【答案】取系统平衡位置处为坐标原点, 当杆偏离平衡位置微小转角时, 弹簧恢复力为:

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图2

（1）第一种情况下, 根据动量矩定理可得:

其中,

所以运动微分方程为:

杆水平时微幅振动的固有频率是:

（2）第二种情况下, 根据动量矩定理可得:

代入

的值得到运动微分方程:

杆铅直时微幅振动的固有频率是

4． 链条长1，每单位长度的质量为p ，堆放在地面上，如图1所示. 在链条的一端作用一力F ，使它以不变的速度上升. 假设尚留在地面上的链条对提起部分没有力作用. 求力F 的表达式和地面约束力

的表达式

图1

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