2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解. 是
的特解，因此选B. 的3个线性无关的解，
为任意
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D 所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
故是的基础解系. 又由知
3． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C
=（ ）.
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
【解析】因为
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设P 是一个数域，意 证明:（1）对于（2 ）对任意 理想， 且 是 是P 上的一元多项式环. 称 有 的非空子集I 为 的理想，如果对任 中任意理想I , 存在使得对于任意 是 的 的最大公因式. ， 取 则结论成立. 若这里 由 取I 中次数最低的首一多项式为 则 不 【答案】（1 ）若 作带余除法 然， 是余式. 只要证 这 与使得 的取法矛盾， 故 （2）于是 有 故I 是P[x]的理想. ，J 中存在由（1）g （x ） 的公因式. 由J 的定义知 7． 设 【答案】（1）因为 即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时， 所以 （2）由（1）知 显然的组合，故 是 于是 ，是f （x ） 的最大公因式. 证明 ： 由哈密尔顿-凯莱定理知
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