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一、计算题

1．

计算曲面积分

分别如下：

【答案】抛物

面

与xOy 面的交线

为，又

于是，有

，

故

在xOy 面上的投影区

域

，

其中

为抛物面

在xOy 面上方的部分

，

2． 试决

【答案】

令当当当由

, 得

。

时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在

上是凹的; 上是凹的,

中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。

时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;

从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。

知过点（一1, 4k ）的法线方程为

要使该法线过原点, 则（0, 0）应满足这方程, 将x=0, y=0代入上式, 得

3． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？

【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·

即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.

4． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）（3）【答案】（1），因此

点为（x ，y ）

注:对于参数方程的处理方式一般可采用本题的方法，首先根据问题化为积分（其中记曲线， 对于积分根据参数方程进行换元，即可化为关于参数的积分，再进行计算. 上的点为（x ，y ））

（3）

3

3

（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线x=acost ，y=asint 上的

5． 判断下列级数的收敛性：

【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和

而

即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。

（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而

故

与

的等比级数，因

注意到

故该级数发散。

分别是公比

与

的

有

不满足级数收敛的必要条件，故该

故

的等比技术，因

故该级数收敛。

均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数

收敛。

6． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令

则

且原方程化为一阶线性方程

即