2017年江西师范大学数学与信息科学学院860高等数学(统计学方向)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
即得
，
2
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得
故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为，因此所求面积为
（如图所示）
图
2． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。 因为
，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
3． 设有界区域由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分
.
【答案】所求积分满足高斯公式条件，
4． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
，所以
处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周
的参数方程为由斯托克斯公式
t 从0变到2π。
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
5． 设a=（2，﹣l ，﹣2），b=（1，1，z ），问z 为何值时
【答案】
最小? 并求出此最小值.
由于达到最小值.
经验证z=﹣4时，f （z ）达到最大值，此时
达到最小值且由
，
为单调递减函数.f （z ）取得最大值时，
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