2017年华东师范大学理工学院数学系817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是一个整系数多项式，试证：如果
的整根，
则为奇数，则c 为奇数. 由
及
与
都是奇数，那么
及
不能有整数根. 为奇数，
为
【答案】设c
为
是整系数多项式，
由
奇数，但c 及是不能同时为奇数的矛盾. 故不能有整根.
2． 构造一个3阶实对称阵A ，使其特
征值为并且对应特征值1有特征
向量
【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
因为A 是实对称阵，所以必与已知两
令则
故
3． 化二次型
【答案】解法1 配方法（略）. 解法2
的矩阵为
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为标准形，并给出所用的非退化的线性替换.
因为
故经非退化的线性替换
化为标准形
4．
设
的一次齐次式，证明:
【答案】设
经可逆线性替换
的正惯性指数
负惯性指数
是
化为规范形：其中
分别是
如果
我们用反证法来证明
考虑
的正、负惯性指数.
的齐次线性方程组
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这个齐次线性方程组有n 个未知量，而有
个方程，因此有非零解，设
是一个非零解，代入得
又因但是又有同法可证
5． 设线性方程组
与方程
有公共解，求a 的值及所有公共解.
【答案】解法1:因方程组（1）与方程组（2）有公共解，即如下联立方程组（3）有解
所以，
不全为0，因而
矛盾，所以
对方程组（3）的增广阵
施以初等行变换，有
由于方程组（3）有解，故其系数阵与増广阵等秩，于是当a=l时
因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为当a=2时
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即&=1或3=2.
其中k 为任意常数.
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