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一、分析计算题

1． 设

且证明秩的代数余子式

故在行列式②中满足

即主对角严格占优.

即秩

从而秩

2． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：

【答案】因为

而AB=BA，所以有

故有

即

3． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，

（1）存在

使得

使）

知

则

是基，结论得证. 不然，

的真子空间，

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为实矩阵，已知

其次，

考虑

【答案】把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么

是V 的S 个真子空间，证明：

故

线

性

无故

关

，

且

（2）存在V 中的一组基（

2

）

由

（

1

【答案】（1）由有限不覆盖定理，

线性无关.

令若则是V 的基，

使

结论得证，不然重复

上面的步骤，并如此进行下去，得到基

4． 设a 为欧氏空间V 中的一个非零向量，

证明:（1）

【答案】（1）反证法. 设有实数

使

将其中具有正系数于

因此

是

线性无关；

是V 中p 个向量，满足

的线性组合，即

（2）n 维欧氏空间中最多有个向量，使其两两夹角都大于

线性相关.

不妨设

是

将这关系式改写成

的项归入因

具有负系数的项归在

及

故

但

下. 且令

另一方面

这个矛盾证明了所要的结论. （2）设取

则

它们两两成钝角，于是有

符合第（1）小题的假设条件，

故

线性无关.

又V 是n 维的，有于是

5． 求k , s, t满足何条件时有

【答案】解法

I

则其商必为

展开后比较同次项系数，

即

. 即

比较系数得

于是解法

II

去除

得余式为

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因此当时当

令②用令

6． 设

求

又

【答案】根据综合除法，得

故

7． 化下列

矩阵成标准形：

由此即得结论. 得余式为

由此即得结论.

【答案】（1）因为

所以标准形为：

（2）作初等变换

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