2018年中南大学物理与电子学院909量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 如图所示，有一势场为：
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
图
【答案】
中运动，其状态波函数
2． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
3 设体系的状态波函数为．量
的关系为_____。
如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢
【答案】
4．
当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.
5． 粒子在一维势阱中运动，波函数为则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
则
【答案】
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的跃变条件为_____。
6． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
二、选择题
7． 下列算符
【答案】
8． 如果算符表示力学量应的_____。
【答案】确定值；本征值
9． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】 10．
_____
_____
_____
_____
_____。
【答案】
11．下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）
.
【答案】A
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为
12．如两力学量算符【答案】0
有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为
_____。
是线性算符的是_____。
那么当体系处于的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相
可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
三、计算题
13．（1）求算符【答案】⑴
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的对易关系. （2）证明其中
即算符⑵则
14．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
】
求：
不对易.
得证.
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
15．已知厄米算符. 满足且（1）在A 表象中算符
的矩阵表示。
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是
利用
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求：
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
得：